Miejscowość Gaj to kolonia.
Kod GUS TERYT miejscowości Gaj to 0852826.
-------------------------
Niewielka osada składająca sie z kilkunastu zabudowań na północno - zachodnim krańcu G. Złotych. [...] Liczba ludności na przestrzeni lat : 1787r.-20, 1825r.-71, 1933r.-100. [Zbigniew Waluś]
* * *
Po 1945 r. dawne "Hain" zostało włączone jako przysiółek do Jaszkowej Górnej (M.P. 1948 nr 78 poz. 692, obow. od 08.11. 1948 r.):
- Gajek (ad/ Jaszkowa Górna), pow. kłodzki, d. niem. Hain.
Żadne źródło nie podaje kiedy przysiółek usamodzielnił się jako kolonia o innej nazwie. Zamiast tej urzędowej nazwy, we wniosku wystosowanym w 2006 r. przez gminę wiejską Kłodzko, wpisano mylną nazwę "Gaina" i nie zaznaczono, że kolonia jest częścią wsi Jaszkowa Górna, co skutkowało stosownym zapisem w Dzienniku Ustaw 2006 nr 240 poz. 1746, obowiązującym od 01.01.2007 r.:
Zmienia się w gminie Kłodzko "Gaina, kolonia" - na "Gaj, kolonia".
Tak też jest zapisane w najnowszym wykazie nazw miejscowości.
Nieformalnie kolonia Gaj jest reprezentowana przez sołtysa wsi Jaszkowa Górna, a w ewidencji katastralnej ten obszar zaliczany jest do tej wsi. [dop. Stan]